Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB=2a, AD= DC= a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= 4a. Gọi M là điểm trên SD sao cho SM= 2MD và O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và OM.

Đáp án: $ \left( {OM,BC} \right) = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$CD//AB \to \dfrac{DO}{OB}=\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}$

Mà $\dfrac{DM}{MS}=\dfrac{1}{2}$

$\to \dfrac{DM}{MS}=\dfrac{DO}{OB}=\dfrac{1}{2}\to OM//SB$

Suy ra: $(OM,BC)=(SB,BC)=\widehat{SBC}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
S{C^2} = S{A^2} + A{C^2} = S{A^2} + A{D^2} + D{C^2} = {\left( {4a} \right)^2} + {a^2} + {a^2} = 18{a^2} \Rightarrow SC = a\sqrt {18} \\
S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} = {\left( {4a} \right)^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 20{a^2} \Rightarrow SB = 2a\sqrt 5 
\end{array}$

Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB.

Khi đó:

Tứ giác ADCN có: $\widehat {ADC} = \widehat {CNA} = \widehat {DAC} = {90^0}$

$\to ADCN$ là hình chữ nhật.

Mà $AD=CD=a\to $ ADCN là hình vuông.

$\to AN=AD=a\to AN=\dfrac{AB}{2}$ $\to N$ là trung điểm của AB.

$\to $ CN là trung tuyến đồng thời là đường cao tam giác ABC.

$\to \Delta \widehat{ABC}$ cân tại C.

Mà $ADCN$ là hình vuông $\to \widehat{CAN}=45^0\to \widehat{CAB}=45^0$

Nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại C $\to BC=AB.cos 45^0=2a.\dfrac{1}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$

Xét tam giác SBC có:

$\begin{array}{l}
\cos \widehat {SBC} = \dfrac{{S{B^2} + B{C^2} - S{C^2}}}{{2.SB.BC}} = \dfrac{{20{a^2} + 2{a^2} - 18{a^2}}}{{2.2a\sqrt 5 .a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\\
 \Rightarrow \widehat {SBC} = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)\\
 \Rightarrow \left( {OM,BC} \right) = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)
\end{array}$

Vậy $ \Rightarrow \left( {OM,BC} \right) = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)$