Cho hình chóp S.ABC với G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCA .Tính V của A.G1G2G3/ V của S.ABC

Đáp án:

$\dfrac{ V_{A.G_1G_2G_3}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{27}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $D;\, E;\,F$ lần lượt là trung điểm $AB;\, BC;\, CA$

$\to \begin{cases}\dfrac{SG_1}{SD} = \dfrac23\\\dfrac{SG_2}{SE} = \dfrac23\\\dfrac{SG_3}{SF} = \dfrac23\end{cases}$

$\to \begin{cases}G_1G_2//DE\\G_2G_3//EF\\G_3G_1//FD\end{cases}$

$\to (G_1G_2G_3)//(ABC)$

$\to \dfrac{d(S;(G_1G_2G_3))}{d(S;(ABC))} = \dfrac23$

$\to \dfrac{d(A;(G_1G_2G_3))}{d(S;(ABC))} = \dfrac13$

$\to d(A;(G_1G_2G_3)) = \dfrac13d(S;(ABC))$

Ta lại có:

$G_1G_2= \dfrac23DE$

$DE = \dfrac12AC$

$\to G_1G_2 = \dfrac13AC$

$ΔG_1G_2G_3\sim ΔCAB$

$\to \dfrac{S_{G_1G_2G_3}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{G_1G_2}{AC}\right)^2 = \dfrac19$

$\to S_{G_1G_2G_3} = \dfrac19S_{ABC}$

Do đó:

$V_{A.G_1G_2G_3} = \dfrac13S_{G_1G_2G_3}.d(A;(G_1G_2G_3))$

$\to V_{A.G_1G_2G_3} = \dfrac13\cdot \dfrac19S_{ABC} \cdot\dfrac13d(S;(ABC))$

$\to V_{A.G_1G_2G_3} = \dfrac{1}{27}\cdot\left(\dfrac13S_{ABC}d(S;(ABC))\right)$

$\to V_{A.G_1G_2G_3} = \dfrac{1}{27}V_{S.ABC}$

$\to \dfrac{ V_{A.G_1G_2G_3}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{27}$