cho hình chóp sabc đáy là tam giác vuông cân tại B,ac=4a,sa vuông góc với đáy, góc giữa sb và mặt phẳng sac = 30 độ , Tính thể tích khối sabc

Đáp án: $V = \dfrac{{8\sqrt 2 {a^3}}}{3}$

Giải thích các bước giải:

 Tam giác ABC vuông cân tại B nên:

$AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 a$

Gọi H là trung điểm của AC

=> BH ⊥ AC, BH = 2a

SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BH

=> BH ⊥ (SAC)

=> H là hình chiếu của B lên (SAC) 

=> góc giữa SB với (SAC) bằng góc BSH bằng 30 độ

$\begin{array}{l}
\sin \widehat {BSH} = \dfrac{{BH}}{{SB}}\\
 \Rightarrow \sin {30^0} = \dfrac{{2a}}{{SB}}\\
 \Rightarrow SB = 4a\\
\Delta SAB\, \bot A\\
 \Rightarrow S{A^2} + A{B^2} = S{B^2}\\
 \Rightarrow S{A^2} = {\left( {4a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt 2 a} \right)^2} = 8{a^2}\\
 \Rightarrow SA = 2\sqrt 2 a\\
 \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 2 a.\dfrac{1}{2}.AB.BC\\
 = \dfrac{{8\sqrt 2 {a^3}}}{3}
\end{array}$