cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, BC=a, AC=2a, tam giác SAB là tam giác đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Đáp án: $V=\dfrac{a^3}{\sqrt6}$

Giải thích các bước giải:

Vì $M$ là trung điểm $AC\to MA=MC=\dfrac12AC=a$

    $\Delta ABC$ vuông tại $B\to AB^2+BC^2=AC^2\to AB^2=AC^2-BC^2=3a^2\to AB=a\sqrt3$

    $\Delta SAB$ đều $\to SA=SB=AB=a\sqrt3$

Mà $SM\perp ABC\to SM\perp AC$

$\to SM^2=SA^2-AM^2=(a\sqrt3)^2-a^2=2a^2\to SM=a\sqrt2$

$\to V=\dfrac13\cdot SM\cdot S_{ABC}=\dfrac13\cdot SM\cdot \dfrac12\cdot AB\cdot BC$

$\to V=\dfrac13\cdot a\sqrt2\cdot \dfrac12\cdot a\sqrt3\cdot a$

$\to V=\dfrac{a^3}{\sqrt6}$