Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy tam giác ABC cân tại A và góc BAC bằng 120 độ biết AB = AC = a SA = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Nhìn vào hình học phẳng:

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

$\to HA=HB=HC$

$AB=AC=a$ nên $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to AH$ vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác

$\to \widehat{BAH}=\frac{120{}^\circ }{2}=60{}^\circ $

$\to \Delta HAB$ là tam giác đều

$\to AH=AB=a$

Nhờ vào hình học phẳng ta tính được cạnh $AH=a$

Nhìn vào hình học không gian:

Từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với mp$\left( ABC \right)$

Kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SA$ tại $F$ và cắt đường thẳng vuông góc với mp$\left( ABC \right)$ tại $E$

Vì vậy ta có thể thấy rằng $ES=EA=EB=EC$

Hay có thể nói $E$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$

Vì vậy ta tính bán kinh $EA$ là xong bài toán

Ta thấy được rằng $AFEH$ là hình chữ nhật

$\to EA=FH$

$FH=\sqrt{A{{F}^{2}}+A{{H}^{2}}}$ (định lí pitago)

$FH=\sqrt{{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}+A{{H}^{2}}}$

$FH=\sqrt{{{\left( \frac{2a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$

$FH=a\sqrt{2}$

$\to EA=a\sqrt{2}$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $EA=a\sqrt{2}$