Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC).Tam giác ABC đều cạnh a, góc SBA= 30 độ. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm SA,SB,SC. Tính thể tích MNPCAB?

Đáp án:

$V_{MNPCAB} = \dfrac{7a^3}{96}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp AB$

$\Rightarrow SA = AB.\tan\widehat{SBA} = a.\tan30^o = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SA = \dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{3} = \dfrac{a^3}{12}$

Ta lại có:

$M,N,P$ là trung điểm $SA,SB,SC$

Do đó:

$\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SM}{SA}\cdot\dfrac{SN}{SB}\cdot\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$

$\Rightarrow \dfrac{V_{MNPCAB}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{7}{8}$

$\Rightarrow V_{MNPCAB} = \dfrac{7}{8}V_{S.ABC} = \dfrac{7a^3}{96}$