Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a có góc ASB = 60 độ , goc ASC = 120 độ , góc BSC = 90 độ . Tính thể tích V chóp SABC

Đáp án:

$V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Giải thích các bước giải:

+) $∆SAB$ có $SA = SB;\, \widehat{ASB}=60^o$

$\to ∆SAB$ đều

$\to AB = SA = SB = a$

+) $∆SBC$ có $SA = SB;\, \widehat{BSC}=90^o$

$\to ∆SBC$ vuông cân tại $S$

$\to BC = SB\sqrt2 = a\sqrt2$

+) $∆SAC$ có $SA = SC = a;\, \widehat{ASC}=120^o$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$AC^2 = SA^2 +SC^2 - 2SA.SC.\cos\widehat{ASC}$

$\to AC^2 = a^2 + a^2 - 2.a.a.\cos120^o$

$\to AC^2 = 3a^2$

$\to AC =a\sqrt3$

Nhận thấy $AC^2 = 3a^2 = a^2 + 2a^2 = AB^2 + BC^2$

$\to ∆ABC$ vuông tại $B$ (theo định lý Pytago đảo)

$\to S_{ABC}=\dfrac12AB.BC =\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt2 =\dfrac{a^2\sqrt2}{2}$

Gọi $O$ là tâm của $∆ABC$

$\to OA = OC = OB =\dfrac12AC=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ ($∆ABC$ vuông tại $B$)

mà $SA = SB = SC$

nên $SO\perp (ABC)$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$\to SO = \sqrt{SA^2 - OA^2}=\sqrt{a^2 - \dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a}{2}$

Do đó:

$V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SO =\dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt2}{2}\cdot \dfrac a2 =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$