Cho hình chóp SABC có mặt bên SAB là tam giác điều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC), biết BC=a√3, AC=2a

Đáp án: ${d{(A,{\left( {SBC} \right)})}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: 

$\begin{array}{l}
AB = a;BC = a\sqrt 3 ;AC = 2a\\
 \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\\
 \Rightarrow AB \bot BC
\end{array}$

Gọi M là trung điểm của AB

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow SM \bot AB\\
 \Rightarrow SM \bot \left( {ABC} \right)\left( {do:\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array}$

Do `AB=2MB`

`=>` khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 2 lần khoảng cách từ M đến (SBC)

Ta có: `SM ⊥ BC; AB ⊥BC`

`=> BC ⊥ (SAB)`

`=> (SBC) ⊥ (SAB)`

Kẻ `MH ⊥ SB => MH ⊥ (SBC)`

`=>` MH là khoảng cách từ M đến (SBC)

$\begin{array}{l}
SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};MB = \dfrac{a}{2}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{B^2}}}\\
 \Rightarrow MH = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\\
 \Rightarrow {d{(A,{\left( {SBC} \right)})}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}
\end{array}$