Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp SABC biết AB=3a,BC=5a góc giữa mặt phẳng SBC và mặt đáy bằng 30°

Đáp án:

$V_{S.ABC}=\dfrac{8a^3\sqrt3}{5}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2 = AB^2+ AC^2$

$\Rightarrow AC =\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{25a^2 - 9a^2}=4a$

Từ $A$ kẻ $AH\perp BC\quad (H\in BC)$

Ta có: $AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow AH =\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3a.4a}{5a}=\dfrac{12a}{5}$

Ta lại có:

$S\perp BC\quad (SA\perp (ABC))$

$AH\perp BC$ (cách dựng)

$\Rightarrow BC\perp (SAH)$

$\Rightarrow BC\perp SH$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))}=\widehat{SHA}=30^o$

$\Rightarrow SA=AH.\tan30^o =\dfrac{4a\sqrt3}{5}$

Ta được:

$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}.SA =\dfrac{1}{6}AB.AC.SA =\dfrac{1}{6}.3a.4a.\dfrac{4a\sqrt3}{5}=\dfrac{8a^3\sqrt3}{5}$