Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $BA = BC = 2a$, hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy ( $ABC$ ) là trung điểm $E$ của $AB$ và $SE = 2a$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $EC, SC$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy một điểm $M$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $MC$. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện $EHIJ$ với $a = 5,14233 cm$.

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒SA⊥(ABC)

AB⊥BC⇒SB⊥BC⇒ˆSBA là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC)

⇒ˆSBA=60o⇒SBA^=60o

⇒SA=AB.tanˆSBA=2a√3

Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N

⇒MN||BC⇒MN||BC và N là trung điểm của AC

MN=BC/2=a ; BM=AB/2=a

Diện tích SBCNM=(BC+MN).BM/2=3a^2/2

Thể tích VS.BCNM=1/3SBCNM.SA=a^3√3

Kẻ đường thẳng ΔΔ đi qua N, song song với AB

Hạ AD⊥Δ(D∈Δ)⇒AB||(SND)AD⊥Δ(D∈Δ)⇒AB||(SND)

                               ⇒d(AB;SN)=d(AB,(SND))=d(A,(SND)

Hạ AH⊥SD(H∈SD)⇒AH⊥(SND)⇒d(A,(SND))=AH

Tam giác SAD vuông tại A : AH⊥SD

                                       AD=MN=a

                                            ⇒d(AB,SN)=AH=SA.AD/√SA^2+AD^2=2a√39/13