Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BC=3a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)=30° . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Đáp án:

$V = 36\pi a^3$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$SA\perp (ABC)$

$\to SA\perp BC$

mà $BC\perp AB$

nên $BC\perp (SAB)$

$\to BC\perp SB;\, \widehat{(SC;(SAB))}=\widehat{BSC}=30^\circ$

$\to SC =\dfrac{BC}{\sin30^\circ}= 6a$

Gọi $I$ là trung điểm $SC$

$\to IS = IC =\dfrac12SC = 3a$

Xét $∆SBC$ vuông tại $B\,\,(BC\perp SB)$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$

$\to IS = IC = IB$

Xét $∆SAC$ vuông tại $A$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$

$\to IS = IC = IA$

Do đó: $IS = IA = IB = IC$

$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$, bán kính $R = 3a$

Ta được:

$V_{\text{khối cầu}}= \dfrac43\pi R^3 =\dfrac{4\pi(3a)^3}{3}= 36\pi a^3$

Ta có:

SA⊥(ABC)SA⊥(ABC)

→SA⊥BC→SA⊥BC

mà BC⊥ABBC⊥AB

nên BC⊥(SAB)BC⊥(SAB)

→BC⊥SB;ˆ(SC;(SAB))=ˆBSC=30∘→BC⊥SB;(SC;(SAB))^=BSC^=30∘

→SC=BCsin30∘=6a→SC=BCsin⁡30∘=6a

Gọi II là trung điểm SCSC

→IS=IC=12SC=3a→IS=IC=12SC=3a

Xét ΔSBC∆SBC vuông tại B(BC⊥SB)B(BC⊥SB) có:

II là trung điểm cạnh huyền SCSC

→IS=IC=IB→IS=IC=IB

Xét ΔSAC ∆SAC vuông tại AA có:

II là trung điểm cạnh huyền SCSC

→IS=IC=IA→IS=IC=IA

Do đó: IS=IA=IB=ICIS=IA=IB=IC

→I→I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCS.ABC, bán kính R=3aR=3a

Ta được:

Vkhối cầu=43πR3=4π(3a)33=36πa3