Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Đáp án:

$R = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Giải thích các bước giải:

$ΔABC$ vuông cân tại $B$ có $AB = a$

$\Rightarrow AC = a\sqrt2$

Gọi $M$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow MA = MB = MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt2}{2};\, SM\perp (ABC)$

$\Rightarrow SM$ là trục của mặt phẳng đáy $(ABC)$

Gọi $N$ là trung điểm $SA$

Trong $mp(SAM)$ kẻ $NI\perp SA\quad (I\in SM)$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$

Ta có:

$ΔSNI\sim ΔSMA\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{SN}{SM} = \dfrac{SI}{SA}$

$\Rightarrow SI = R = \dfrac{SA.SN}{SM}$

$\Rightarrow R = \dfrac{SA^2}{2SM} = \dfrac{SA^2}{2\sqrt{SA^2 - AM^2}}$

$\Rightarrow R = \dfrac{2a^2}{2\sqrt{2a^2 - \dfrac{a^2}{2}}} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$