cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.Cạnh bên SA=a căn 3 và vuông góc với mặt đáy ABC.tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng SBC

Đáp án:

$d(A;(SBC))=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$

Giải thích các bước giải:

$∆ABC$ đều cạnh $a$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AM\perp BC;\, AM =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

mà $SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))$

nên $BC\perp (SAM)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SM$

Do $AH\subset (SAM)$

nên $BC\perp AH$

mà $AH\perp SM$ (cách dựng)

nên $AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SAM$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}}$

$\Rightarrow d(A;(SBC))=\dfrac{a\sqrt3\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{3a^2 +\dfrac{3a^2}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$