Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, góc tạo bởi(SBC) với đáy bằng 60 độ. Thể tích khối chóp S.ABC là

Đáp án:

$V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABC)\\(SAC)\perp (ABC)\\(SAB)\cap (SAC)=SA\end{cases}$

$\to SA\perp (ABC)$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\to AM\perp BC\quad (∆ABC$ đều$)$

$\to AM =\dfrac{AB\sqrt3}{2}= \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta lại có: $∆SAB =∆SAC\, (c.g.c)$

$\to SB = SC$

$\to ∆SBC$ cân tại $S$

$\to SM\perp BC$

Ta được:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC)=BC\\AM\perp BC\\AM\subset (ABC)\\SM\perp BC\\SM\subset (SBC)\end{cases}$

$\to \widehat{((SBC);(ABC))}=\widehat{SMA}=60^\circ$

$\to SA = AM.\tan60^\circ =\dfrac{3a}{2}$

Do đó:

$V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SA =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$