Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Các góc SAB, SCB vuông. M là trung điểm SA. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MBC) bằng 6a/√21 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Đáp án:

$V_{S.ABC} = \dfrac{10a³\sqrt3}{9}$

Giải thích các bước giải:

Dựng $SH ⊥(ABC)$ tại $H$. Gọi $N = AH\cap BC$; $P = MN\cap SH$.

Vẽ $MQ ⊥ AH$ tại $Q$; $HK ⊥ PC$ tại $K$.

Ta có:

$\begin{cases}SA⊥AB\text{ (do }\widehat{SAB}=90^o\text{)}\\AB\bot SH\text{ (cách dựng)}\end{cases}$

$\Rightarrow AB\bot(SAH)⇒AB\bot AH$;

$\begin{cases}BC\bot SC\\BC\bot SH\end{cases}\Rightarrow BC\bot(SHC) ⇒ BC\bot HC$

Hay $ BN ⊥(SHC) ⇒ BN⊥HK$ và có $HK\bot PC$ (cách dựng)

$⇒ HK⊥(PBN)$ hay $HK⊥(MBC)$

$⇒ Δ ABH = Δ CBH$ (cạnh huyền- cạnh góc vuông) (vì AB=CB=2a; BH chung)

$\Delta AHB\bot A,\widehat{ABH}=30^o:\tan\widehat{ABH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AH=AB.\tan\widehat{ABH}=2a.\tan30^o=\dfrac{2a}{\sqrt3}$

$ Δ ABN \bot A,\widehat{ABN} = 60^o:\tan\widehat{ABN}=\dfrac{AN}{AB}$

$\Rightarrow AN=AB.\tan\widehat{ABN}=2a.\tan60^o=2\sqrt3a$

$\Rightarrow\dfrac{NH}{NA} = \dfrac23$

$⇒HK=d(H,(MBC)) =\dfrac 23d( A ,(MBC))$

hay $HK =\dfrac 23.\dfrac{6a}{\sqrt{21}} =\dfrac{ 4a}{\sqrt{21}}$

$NH = 2AH = 4QH$

$\Delta NMQ: PH//MQ\Rightarrow\dfrac{PH}{MQ}=\dfrac{NH}{NQ}=\dfrac45$

$\Delta AHS: MQ//SH:\dfrac{MQ}{SH}=\dfrac{AQ}{AH}=\dfrac12$ 

$\Rightarrow \dfrac{PH}{SH}=\dfrac25 ⇔ SH = \dfrac{5PH}2$

Trong $Δ PHC\bot H,$ đường cao HK ta có:

$\dfrac1{HK²} =\dfrac 1{PH²} +\dfrac 1{HC²}$

$⇔ \dfrac1{PH²} =\dfrac 1{HK²} -\dfrac 1{HC²} =\dfrac1{(\dfrac{4a}{\sqrt{21}})²} - \dfrac1{(\dfrac{2a}{\sqrt3})²} $

$= \dfrac{21}{16a²} -\dfrac3{4a²} =\dfrac{ 9}{16a²}$

$⇔ PH = \dfrac{4a}3 ⇒ SH = \dfrac{5PH}2 =\dfrac{ 10a}3$

Vậy $V_{S.ABC} =\dfrac 13.SH.S_{ABC} =\dfrac13.\dfrac{10a}3.\dfrac{4a²\sqrt3}4 = \dfrac{10a³\sqrt3}9$