Cho hình chóp S. ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Biết tam giác SAB là tam giác đều và mp (SAB) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBD)

Đáp án:$d(A,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {21} }}{{7}}$

Giải thích các bước giải:

Gọi H là trung điểm của AB

Kẻ HE vuông góc với BD tại E và HF vuông góc với SE tại F.

 Ta có:

Do tam giác SAB đều nên $SH\perp AB=H\to SH\perp (ABCD)$

$d(A,(SBD))=2d(H,(SBD))$(1)

Lại có:

$BD\perp HE; BD\perp SH\to BD\perp (SHE) \to BD\perp HF$

Mà $HF\perp SE\to HF\perp (SBD)\to d(H,(SBD))=HF$(2)

Ta có:

$SB=AB=a\to SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $HE=BH.sin\widehat{HBE}=\dfrac{a}{2}.sin45^o=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Suy ra: 

$\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}\\ \Rightarrow HF = \sqrt {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}}}}  = \sqrt {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}}}}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$(3)

Từ (1),(2),(3) ta có: $d(A,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {21} }}{{7}}$

Vậy $d(A,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {21} }}{{7}}$