Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thôi cạnh a , góc BAD bằng 60 độ , gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H cạnh BI . Góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 độ . Thể tích khối chóp S.ABCD

Đáp án:

 $V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt{39}}{24}$

Giải thích các bước giải:

$ABCD$ là hình thoi cạnh $a$

$\Rightarrow AB = BC = CD = DA = a$

$\widehat{BAD} = 60^\circ \Rightarrow ΔBAD;\, ΔBCD$ đều

$\Rightarrow AB = BC = CD = DA = BD = a$

$\Rightarrow S_{ABCD} = 2S_{BAD} = 2\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Với $AC\cap BD =\{I\}$

$\Rightarrow BI = ID = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}$

Ta lại có: $IH = HB = \dfrac{1}{2}IB$

$\Rightarrow IH = HB = \dfrac{a}{4}$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$HC^2 = BH^2 + BC^2 - 2BH.BC.\cos\widehat{HBC}$

$\Rightarrow HC^2 = \dfrac{a^2}{16} + a^2 - 2\cdot\dfrac{a}{4}\cdot a\cdot\cos60^\circ = \dfrac{13a^2}{16}$

$\Rightarrow HC = \dfrac{a\sqrt{13}}{4}$

Ta có:

$SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))}= \widehat{SCH} = 45^\circ$

$\Rightarrow SH = HC.\tan45^\circ = \dfrac{a\sqrt{13}}{4}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{4} = \dfrac{a^3\sqrt{39}}{24}$