Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D , mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với đáy , tam giác SAD đều , DB =3a , DC = 2AB = 4a . Tính thể tích của S. ABCD

Đáp án:

$V_{S.ABCD} =  \dfrac{5a^3\sqrt{3}}{2}$

Giải thích các bước giải:

$ΔSAD$ đều

Gọi $H$ là trung điểm $AD$

$\Rightarrow SH\perp AD$

Ta lại có:

$(SAD)\perp (ABCD)$

$(SAD)\cap (ABCD) = AD$

$SH\perp AD$

$SH\subset (SAD)$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Áp dụng định lý $Pytagoras$ ta được:

$ BD^2 = AB^2 + AD^2$

$\Rightarrow AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{BD^2- \dfrac{DC^2}{4}}$

$\Rightarrow AD = \sqrt{9a^2 - 4a^2} = a\sqrt5$

$\Rightarrow SH = \dfrac{AD\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Do đó:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}(AB + CD).AD.SH$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{6}(2a + 4a)\cdot a\sqrt5\cdot\dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{5a^3\sqrt{3}}{2}$