Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D , mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với đáy , tam giác SAD đều , DB =3a , DC = 2AB = 4a . Tính thể tích của S. ABCD

Đáp án:

$V_{S.ABCD} = 5a^2\sqrt3$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$DC = 2AB = 4a$

$\Rightarrow AB = 2a$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$\Rightarrow AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{9a^2 - 4a^2} = a\sqrt5$

Gọi $H$ là trung điểm $AD$

$\Rightarrow SH\perp AD;\, SH = \dfrac{AD\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$ ($ΔSAB$ đều)

Ta có:

$\begin{cases}(SAD)\perp (ABCD)\\(SAD)\cap (ABCD)=AD\\SH\perp AD\\SH\subset (SAD)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}(AB+CD).AD.SH = \dfrac{1}{3}\cdot(2a +4a)\cdot a\sqrt5\cdot\dfrac{a\sqrt{15}}{2} = 5a^2\sqrt3$