Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB = AC = a , I là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC , mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy một góc bằng 60 độ . Tính thể tích khối chóp S.IAB

Đáp án:

 $V_{IAB} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Giải thích các bước giãi:

$ΔABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = AC = a$

$\Rightarrow BC = a\sqrt2;\, S_{ABC} = \dfrac{AB^2}{2} = \dfrac{a^2}{2}$

$\Rightarrow HB = HC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Ta có: $ΔABC$ vuông cân tại $A$ có $H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow HA = HB = HC$

Lại có: $SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow SA = SB = SC$

$\Rightarrow ΔSAB$ cân tại $S$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow SM\perp AB$

Ta lại có: $H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow HM$ là đường trung bình của $ΔABC$

$\Rightarrow \begin{cases}HM//AC\\HM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\end{cases}$

$\Rightarrow HM\perp AB\quad (AC\perp AB)$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\cap (ABC)=AB\\SM\perp AB\quad (cmt)\\SM\subset (SAB)\\HM\perp AB\quad (cmt)\\HM\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SAB);(ABC))} =\widehat{SMH} = 60^\circ$

$\Rightarrow SH= HM.\tan60^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

Mặt khác: $I$ là trung điểm $SC$

$\Rightarrow \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{V_{IAB}}{V_{CAB}} = \dfrac{SI}{SC}\cdot\dfrac{SA}{SA}\cdot\dfrac{SB}{SB} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow V_{IAB} = \dfrac{1}{2}V_{S,ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{12}=\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$