Cho hình chóp S. ABC có SA = 3a , SA tạo với đáy một góc 60 độ . Tam giác ABC vuông tại B , góc ACB = 30 độ . G là trọng tâm tam giác ABC . Hai mặt phẳng ( SGB ) và ( SGC ) cùng vuông góc với đáy . Thể tích của khối chóp S. ABC tính theo a

Đáp án:

$V_{S.ABC}=\dfrac{12a^3}{7}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\begin{cases}(SGB)\perp (ABC)\\(SGC)\perp (ABC)\\(SGB)\cap (SGC)=SG\end{cases}$

$\to SG\perp (ABC)$

$\to \widehat{(SA;(ABC))}=\widehat{SAG}=60^o$

$\to \begin{cases}AG = SA.\cos60^o = \dfrac{3a}{2}\\SG =SA.\sin60^o =\dfrac{3a\sqrt3}{2}\end{cases}$

Xét $∆ABC$ vuông tại $B$ có:

$\widehat{ACB}=30^o$

$\to BC =\dfrac{AB}{\tan30^o} = AB\sqrt3$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\to \begin{cases}BM = \dfrac12BC =\dfrac{AB\sqrt3}{2}\\AM =\dfrac32AG = \dfrac{9a}{4}\end{cases}$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$AM^2 = AB^2 + BM^2$

$\to \dfrac{81a^2}{16} = AB^2 +\dfrac{3AB^2}{4} = \dfrac{7AB^2}{4}$

$\to AB^2 = \dfrac{81a^2}{28}$

$\to AB =\dfrac{8a}{2\sqrt7}$

$\to BC = \dfrac{8a\sqrt3}{2\sqrt7}$

$\to V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SG =\dfrac16AB.BC.SG =\dfrac16\cdot \dfrac{8a}{2\sqrt7}\cdot\dfrac{8a\sqrt3}{2\sqrt7}\cdot \dfrac{3a\sqrt3}{2} = \dfrac{12a^3}{7}$