Cho hình chóp S. ABC có đây ABC là tam giác vuông cân tại B , AB=a , SA vuông góc (ABC) , góc giữa mp (SBC) và mp(ABC) bằng 30 độ. Gọi M là trung điểm SC. Tính V khối chóp S. ABM

Đáp án:

$V_{S.ABM} = \dfrac{a^3\sqrt3}{36}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\quad SA\perp (ABC) \quad (gt)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

mà $BC\perp AB$ ($ΔABC$ vuông cân tại $B$)

nên $BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp SB$

Khi đó:

$\quad \begin{cases}AB\perp BC\quad \text{(ΔABC vuông cân tại B)}\\AB\subset (ABC)\\SB\perp BC\quad (cmt)\\SC\subset (SBC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SBA} = 30^o$

$\Rightarrow SA = AB.\tan30^o = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SA = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{3} = \dfrac{a^3\sqrt3}{18}$

Với $M$ là trung điểm $SC$ ta có tỉ số thể tích của `2` khối chóp tam giác:

$\dfrac{V_{S.ABM}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA}{SA}\cdot\dfrac{SB}{SB}\cdot\dfrac{SM}{SC} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABM} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt3}{36}$