Cho hình chóp MNPQ có đáy NPQ là tam giác vuông tại Q, NP=1, cạnh bên MN=1 và vuông góc với mặt phẳng đáy NPQ . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.

Đáp án:

$V_{\max}=\dfrac{1}{12}$

Giải thích các bước giải:

Đặt $NQ = x$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$NP^2 = NQ^2 + PQ^2$

$\to PQ =\sqrt{NP^2 - NQ^2}=\sqrt{1 - x^2}$

Do đó:

$S_{NPQ}=\dfrac12NQ.PQ =\dfrac12x\sqrt{1 - x^2}$

$V_{MNPQ}=\dfrac13S_{NPQ}.MN=\dfrac16x\sqrt{1 - x^2}$

Xét hàm số $f(x) = \dfrac16x\sqrt{1 - x^2}$

$\to f'(x) = \dfrac{1 -2x^2}{6\sqrt{1 -x^2}}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{\sqrt2}{2}\\x = \dfrac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.$

$\to$ Hàm số đạt cực đại tại $x = \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\to \max f(x) = f\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right) =\dfrac{1}{12}$

Vậy $V_{\max}=\dfrac{1}{12}$