cho hình chóp đều SABC cạnh đáy bằng a. G là trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa SB và đáy là 30°. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp SABC thành 2 phần. Tỉ số thể tích 2 phần là

$SABC$ là chóp đều nên $SG\bot (ABC)$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, kẻ $MH\bot SA$

Có $BC\bot AM$ ($\Delta ABC$ đều), $BC\bot SM$ ($\Delta SBC$ cân tại $S$)

$\to BC\bot (SAM)$

$\to BC\bot SA$

$\to SA\bot (HBC)$

$\to (P)$ là $(HBC)$

$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$(SB,(ABC))=(SA,(ABC))=(SA,AM)=30^o$

$AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt3}{3}$

$\to SA=\dfrac{AG}{\cos30^o}=\dfrac{2a}{3}$

$\to SG=\sqrt{SA^2-AG^2}=\dfrac{a}{3}$

$GM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{a\sqrt3}{6}$

$\to SM=\sqrt{SG^2+GM^2}=\dfrac{a\sqrt7}{6}$

Dùng Herong tính được $S_{SAM}=\dfrac{a^2\sqrt3}{12}=\dfrac{1}{2}HM.SA$

$\to HM=\dfrac{a\sqrt3}{4}$

$\to SH=SA-HA=SA-\sqrt{AM^2-HM^2}=\dfrac{-a}{12}$ (vô lí, bạn xem lại đề)