cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Kẻ CH vuông góc với AD, CK vuông góc với AB a, Chứng minh tam giác BCK đồng dạng với tam giác DCH b, Chứng minh tam giác CKH đồng dạng với tam giác BCA c, Chứng minh HK=AC .sinBAD d, Tính diện tích tứ giác AKCH nếu góc BDA=60, AB=4cm,AD=5cm

a)Ta có: $\widehat{KBC}=\widehat{BAD}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{CDH}$ (2 góc ở vị trí đồng vị)

$\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{CDH}$

Xét $\Delta BCK$ và $\Delta DCH$ ta có:

$\widehat{K}=\widehat H=90^o$

$\widehat{KBC}=\widehat{HDC}(=\widehat{BAD})$ (chững minh trên)

$\Rightarrow$ $\Delta BCK$ đồng dạng $\Delta DCH$ (g.g)

b) Tứ giác $AKCH$ có $\widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90^o+90^o=180^o$

$\Rightarrow AKCH$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AC)$

$\Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{KHC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $KC$) (1)

Và $\widehat{CKH}=\widehat{CHA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $HC$)

Mà $\widehat{HAC}=\widehat{BCA}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

$\Rightarrow \widehat{CKH}=\widehat{BCA}(=\widehat{CHA})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta CKH$ đồng dạng $\Delta BCA$ (g.g)

c) Do $\Delta BCK$ đồng dạng $\Delta DCH\Rightarrow \dfrac{CK}{CH}=\dfrac{BC}{DC}$ (3)

Do $\Delta CKH$ đồng dạng $\Delta BCA\Rightarrow \dfrac{CK}{BC}=\dfrac{KH}{AC}$ (4)

Từ (3) $\Rightarrow\dfrac{CK}{BC}=\dfrac{CH}{DC}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\dfrac{KH}{AC}=\dfrac{CH}{DC}=\sin\widehat{CDH}$ ($\Delta DHC\bot H$ )

Mà $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}$ (đồng vị)

$\Rightarrow \dfrac{KH}{AC}=\sin\widehat{BAD}$

$\Rightarrow HK=AC.\sin\widehat{BAD}$ (đpcm)

d) $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}=60^o$

$DC=AB=4$

$\Delta$ vuông $DHC$ có

$\sin\widehat{CDH}=\dfrac{CH}{DC}$

$\Rightarrow CH=DC.\sin\widehat{CDH}=4\sin60^o=2\sqrt3$

$DH=\sqrt{DC^2-CH^2}=4^2-(2\sqrt3)^2=2$

$\Rightarrow AH=AD+DH=5+2=7$

$\Rightarrow S_{AHC}=\dfrac{1}{2}AH.CH=\dfrac{1}{2}7.2\sqrt3=7\sqrt3$ (*)

$BC=AD=5$

$\Delta$ vuông $BKC$ có

$\sin\widehat{KBC}=\dfrac{KC}{BC}$

$\Rightarrow KC=BC\sin\widehat{KBC}=BC\sin\widehat{CDH}=5\sin60^o=\dfrac{5\sqrt3}{2}$

$BK=\sqrt{BC^2-KC^2}=\sqrt{5^2-(\dfrac{5\sqrt3}{2})^2}=\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow AK=AB+BK=4+\dfrac{5}{2}=\dfrac{13}{2}$

$\Rightarrow S_{ACK}=\dfrac{1}{2}AK.CK=\dfrac{1}{2}\dfrac{13}{2}\dfrac{5\sqrt3}{2}=\dfrac{65\sqrt3}{8}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra

$S_{AKCK}=S_{ACH}+S_{ACK}=7\sqrt3+\dfrac{65\sqrt3}{8}=\dfrac{121\sqrt3}{8}$