$-$ Cho hệ phương trình : $\begin{cases} 2x+y=8\\4x+my=2m+18 \end{cases}$ ( $m$ là tham số ) $a)$ Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó. $b)$ Với $(x; y)$ đã tìm được, hãy tìm $m$ để : $+)$ $2x - 3y > 0$ $+)$ $S=x^2+y^2$ đạt $GTNN$ $+)$ $T=x.y$ đạt $GTLN$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a)` 

`{(2x+y=8(1)),(4x+my=2m+18(2)):}`

`(1)⇔y=8-2x` `(3)` 

Thay `(3)` vào `(2)` ta có : 

`4x+m(8-2x)=2m+18` 

`⇔4x+8m-2mx=2m+18` 

`⇔4x-2mx+8m-2m=18` 

`⇔(4-2m)x+6m=18` 

`⇔(4-2m)x=18-6m` 

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì :

`4-2m\ne0`

`⇔2m\ne4` 

`⇔m\ne2` 

Khi đó : `x=(18-6m)/(4-2m)⇔x=(9-3m)/(2-m)`

Thay `x=(9-3m)/(2-m)` vào `(3)` ta có: 

`y=8-2.(9-3m)/(2-m)` 

`⇔y=8-(18-6m)/(2-m)` 

`⇔y=(8(2-m))/(2-m)-(18-6m)/(2-m)` 

`⇔y=(16-8m)/(2-m)-(18-6m)/(2-m)` 

`⇔y=(16-8m-18+6m)/(2-m)` 

`⇔y=(-2-2m)/(2-m)` 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là `((9-3m)/(2-m);(-2-2m)/(2-m))`

`b)` 

Vì `2x-3y>0` 

nên `(2(9-3m))/(2-m)-(3(-2-2m))/(2-m)>0`

`⇔(18-6m)/(2-m)-(-6-6m)/(2-m)>0` 

`⇔(18-6m+6+6m)/(2-m)>0` 

`⇔24/(2-m)>0` 

`⇔2-m>0`               (vì `24>0`)

`⇔m<2` 

Vậy với `m<2` thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn `2x-3y>0` 

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 `a)`

Để hệ có nghiệm duy nhất thì:

`a/(a') \ne b/(b')` hay `2/4 \ne 1/m`

`⇔ 2m\ne 4 ⇔ m\ne 2` 

Vậy `m \ne 2` thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Có:

`{(2x+y=8),(4x+my=2m+18):}`

`⇔ {(4x+2y=16),(4x+my=2m+18):}`

`⇔ {(2y-my=16-2m-18),(2x+y=8):}`

`⇔ {((2-m)y=-2m-2),(2x+y=8):}`

`⇔ {(y= (-2m-2)/(2-m)),(2x+(-2m-2)/(2-m)=8):}`

`⇔ {(y= (-2m-2)/(2-m)),(2x= 8 - (-2m-2)/(2-m)):}`

`⇔ {(y=(-2m-2)/(2-m)),(2x= (8(2-m))/(2-m) - (-2m-2)/(2-m)):}`

`⇔ {(y= (-2m-2)/(2-m)),(2x= (16-8m+2m+2)/(2-m)):}`

`⇔ {(y=(-2m-2)/(2-m)),(2x= (18-6m)/(2-m)):}`

`⇔ {(y= (-2m-2)/(2-m)),(x= (2(9-3m))/(2(2-m))):}`

`⇔ {(y=(-2m-2)/(2-m)),(x= (9-3m)/(2-m)):}`

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất `((9-3m)/(2-m) ;(-2m-2)/(2-m))`

`b)`

Để `2x-3y>0` thì:

`(2(9-3m))/(2-m) - (3(-2m-2))/(2-m) >0`

`⇔ (18-6m+6m+6)/(2-m)>0`

`⇔ 24/(2-m)>0`

`⇔ 2-m>0` vì `24>0`

`⇔ m<2`

Vậy `m<2` thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn `2x-3y>0`