Cho hệ phương trình 2mx + y = 2 x + 2my = 4 - 4m a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Tìm các giá trị m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhât x ; y sao cho x và y nguyên

Đáp án:

\(a)m \ne  \pm \dfrac{1}{2}\)

b) \(m = 0\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2mx + y = 2\\
x + 2my = 4 - 4m
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2}x + 2my = 4m\\
x + 2my = 4 - 4m
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4{m^2} - 1} \right)x =  - 4\\
y = 2 - 2mx
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{4}{{4{m^2} - 1}}\\
y = 2 - 2m.\left( { - \dfrac{4}{{4{m^2} - 1}}} \right) = \dfrac{{8{m^2} - 2 + 8m}}{{4{m^2} - 1}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{4}{{4{m^2} - 1}}\\
y = \dfrac{{8{m^2} - 2 + 8m}}{{4{m^2} - 1}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4{m^2} - 1 \ne 0\\
 \to m \ne  \pm \dfrac{1}{2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{4}{{4{m^2} - 1}}\\
y = \dfrac{{8{m^2} - 2 + 8m}}{{4{m^2} - 1}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{4}{{4{m^2} - 1}}\\
y = \dfrac{{8{m^2} - 2 + 4\left( {2m - 1} \right) + 4}}{{4{m^2} - 1}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{4}{{4{m^2} - 1}}\\
y = \dfrac{{2\left( {4{m^2} - 1} \right) + 4\left( {2m - 1} \right) + 4}}{{4{m^2} - 1}} = 2 + \dfrac{4}{{2m + 1}} + \dfrac{4}{{4{m^2} - 1}}
\end{array} \right.\\
Do:x \in Z;y \in Z\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{4}{{4{m^2} - 1}} \in Z\\
\dfrac{4}{{2m + 1}} \in Z
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} - 1 \in U\left( 4 \right)\\
2m + 1 \in U\left( 4 \right)
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
4{m^2} - 1 = 4\\
4{m^2} - 1 = 2\\
4{m^2} - 1 = 1\\
4{m^2} - 1 =  - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
2m + 1 = 4\\
2m + 1 =  - 4\\
2m + 1 = 2\\
2m + 1 =  - 2\\
2m + 1 = 1\\
2m + 1 =  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{m^2} = \dfrac{5}{4}\left( l \right)\\
{m^2} = \dfrac{3}{4}\left( l \right)\\
{m^2} = \dfrac{2}{4}\left( l \right)\\
m = 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{3}{2}\left( l \right)\\
m =  - \dfrac{5}{2}\left( l \right)\\
m = \dfrac{1}{2}\left( l \right)\\
m =  - \dfrac{3}{2}\left( l \right)\\
m = 0\\
m =  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
KL:m = 0
\end{array}\)