Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx+1 a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm: A(1;2)và B(-2;-1). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b. c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C ) xung quanh trục hoành.

Giải thích các bước giải:

 a) Để A(1;2) và B(-2;-1) thuộc đồ thị hàm số thì a,b thỏa mãn hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 0\\
4a - 2b = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 1
\end{array} \right.$

b) Với giá trị $a = 1$ và $b = -1$ ta có hàm số: $y=x^3+x^2-x+1$

Tập xác định: R

Ta có:$y'=3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)$ khi đó

Vẽ được bảng biến thiên của hàm số (hình 3)

Nhận xét:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ và $(\dfrac{1}{3};+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-1;\dfrac{1}{3})$; nhận điểm $(-1;2)$ là điểm cực đại và điểm $(\dfrac{1}{3};\dfrac{22}{27})$ làm điểm cực tiểu.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như hình 1

c) Thiết diện khối tròn xoay là phần hình giao của 2 màu xanh và đỏ (Hình 2).

Thể tích khối tròn xoay là:

$V = \int_0^1 {{{({x^3} + {x^2} - x + 1)}^2}dx}  =\int _0^1(x^6+2x^5-x^4+3x^2-2x+1)dx=\frac{134}{105}$