cho hàm số y= x^4 - 4(m-1)x^2 +2m -1 có đồ thị ( C) . xác định tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều. CÁC PRO GIÚP E VỚI

Đáp án: $m=1+\sqrt[3]{\dfrac38}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: 
$y'=4x^3-8(m-1)x$

$\to y'=0$

$\to 4x^3-8(m-1)x=0$

$\to 4x(x^2-2(m-1))=0$

$\to $Để đồ thị hàm số cỏa $3$ cực trị $\to m-1>0\to m>1$

$\to x\in\{0,\sqrt{2(m-1)},-\sqrt{2(m-1)}\}$ là cực trị của hàm số

$\to A(0,2m-1), B(\sqrt{2(m-1)}, -4m^2+10m-5), C(-\sqrt{2(m-1)}, -4m^2+10m-5)$ là $3$ điểm cực trị của hàm số

$\to$Để $\Delta ABC$ đều

$\to AB=BC$

$\to AB^2=BC^2$

$\to (\sqrt{2(m-1)}-0)^2+(-4m^2+10m-5-(2m-1))^2=(\sqrt{2(m-1)}+\sqrt{2(m-1)})^2+(-4m^2+10m-5-(-4m^2+10m-5))^2$

$\to 2(m-1)+(-4m^2+8m-4)^2=8(m-1)$

$\to 16(m-1)^4=6(m-1)$

$\to m=1$ (loại vì $m>1$)

Hoặc $16(m-1)^3=6$
$\to (m-1)^3=\dfrac38$

$\to m-1=\sqrt[3]{\dfrac38}$

$\to m=1+\sqrt[3]{\dfrac38}$