Cho hàm số y= $x^{4}$ - 2m$x^{2}$ + 2. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

Đáp án:

$m = 1$

Giải thích các bước giải:

$y = x^4 - 2mx^2 +2$

$y' = 4x^3 - 4mx$

$y' = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = -\sqrt m\\x =\sqrt m\end{array}\right.$

Hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m > 0$

Gọi $A(0;2),\, B(-\sqrt m; -m^2 +2),\, C(\sqrt m;-m^2 +2)$ là 3 điểm cực trị

$\to \begin{cases}\overrightarrow{AB}=(-\sqrt m;-m^2)\\\overrightarrow{AC}=(\sqrt m; -m^2)\end{cases}$

Khi đó:

3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 0$

$\Leftrightarrow -m + m^4 = 0$

$\Leftrightarrow m(m^3 -1)= 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\quad (loại)\\m = \quad (nhận)\end{array}\right.$

Vậy $m=1$

________________________________________

Dùng cho trắc nghiệm

3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân

$\Leftrightarrow 8a + b^3 = 0$

Theo đề ta được:

$8 + (-2m)^3 = 0$

$\to 8 - 8m^3 = 0$

$\to m^3 = 1$

$\to m = 1$