cho hàm số y = -$x^{4}$ - 2(m-1)$x^{2}$ + 2 tìm m để hàm số đồng biến với ∀x ∈ [-2;-1]

Đáp án:

\(m \le 0\) hàm số đồng biến với mọi \(x \in \left[ { - 2; - 1} \right]\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
y' =  - 4{x^3} - 4\left( {m - 1} \right)x\\
 =  - 4{x^3} - 4mx + 4x
\end{array}\)

Do hàm số đồng biến với mọi \(x \in \left[ { - 2; - 1} \right]\)

\(\begin{array}{l}
 \to y' \ge 0\forall x \in \left[ { - 2; - 1} \right]\\
 \to  - 4{x^3} - 4mx + 4x \ge 0\forall x \in \left[ { - 2; - 1} \right]\\
 \to  - 4{x^3} + 4x \ge 4mx\\
 \to \dfrac{{ - 4{x^3} + 4x}}{{4x}} \ge m\\
 \to m \le  - {x^2} + 1\\
Đặt:f\left( x \right) =  - {x^2} + 1\\
 \to f'\left( x \right) =  - 2x\\
Xét:f'\left( x \right) = 0\\
 \to x = 0
\end{array}\)

BBT

x              -2                0                  -1

f'(x)            /       +       0        -          / 

f(x)                    \( \nearrow \)                  \( \searrow \)       

Vậy \(m \le 0\) hàm số đồng biến với mọi \(x \in \left[ { - 2; - 1} \right]\)