Cho hàm số y=x^3-3x+1 có đồ thị là (C) - khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên - tìm k để phương trình (d) :y=k cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Giải thích các bước giải:

TXĐ: \(D = R\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y =  - 1\\x =  - 1 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.\)

BBT:

(Tham khảo hình 1)

Dựa vào BBT ta có: \({x_{CD}} =  - 1,\,\,{y_{CD}} = 3\), \({x_{CT}} = 1,\,\,{y_{CT}} =  - 1\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

Cho \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx  - 1,9\\x \approx 1,53\\x \approx 0,34\end{array} \right.\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại ddiemr \(\left( {0;1} \right)\).

Đồ thị hàm số:

(Tham khảo hình 2)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = k\) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow  - 1 < k < 3\).