Cho hàm số y = (x ² +2mx+3)/(x-2) ². Tìm m để hàm số có cực trị

Ta có

$y' = \dfrac{(2x + 2m)(x-2)^2 - (x^2 + 2mx + 3).2(x-2)}{(x-2)^4}$

$= 2\dfrac{(x+m)(x^2 - 4x + 4) - (x-2)(x^2 + 2mx + 3)}{(x-2)^4}$

$= 2 \dfrac{(x^3 + (m-4)x^2 + (4 - 4m)x + 4m - [x^3 + (2m-2)x^2 + (3-4m)x - 6]}{(x-2)^4}$

$= 2 \dfrac{(-m -2)x^2 + x + 4m + 6}{(x-2)^4}$

Để hso có cực trị thì ptrinh $y' = 0$ phải có nghiệm, tức là ptrinh sau đây phải có nghiệm

$(-m-2)x^2 + x + 4m + 6 = 0$

có nghiệm. Với $m = -2$ ta có

$x -2 = 0$

$<-> x = 2$

Vậy ptrinh có nghiệm.

Với $m \neq -2$ thì để ptrinh có nghiệm ta có $\Delta \geq 0$ hay

$1 - 4(-m-2)(4m + 6) \geq 0$

$<-> 1 + 4(m+2)(4m + 6) \geq 0$

$<-> 1 + 4(4m^2 +14m + 12) \geq 0$

$<-> 16m^2 + 56m + 49 \geq 0$

$<-> (4m + 7)^2 \geq 0$ 

điều này đúng với mọi $m$. Do đó hso luôn có cực trị với mọi $m$.