Cho hàm số y=mx^3 -(2m-1)x^2+(m-2)x -2.Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Đáp án:

Không tồn tại $m$

Giải thích các bước giải:

 Hàm số $y = m{x^3} - (2m - 1){x^2} + (m - 2)x - 2$

$ + )TH1:m = 0$

Khi đó:

Hàm số ban đầu trở thành $y = {x^2} - 2x - 2$

Hàm $y = {x^2} - 2x - 2$ có $y'=2x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$

$\to m=0$ loại.

$ + )TH2:m \ne 0$

Hàm số $y = m{x^3} - (2m - 1){x^2} + (m - 2)x - 2$ là hàm số bậc $3$ luôn đồng biên trên $R$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow y' = 3m{x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + \left( {m - 2} \right) \ge 0,\forall m\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \le 0\\
3m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \left( {2m - 1} \right)} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) \le 0\\
m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 1 \le 0\\
m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 1} \right)^2} \le 0\\
m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 = 0\\
m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m =  - 1\left( {ktm} \right)\\
m > 0
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn đề.