cho hàm số y=f(x) có y=f'(x)=-(x+1)(x-3) hỏi hàm số y=f(x)+x^2-2x đạt cực tiểu tại điểm nào

Đáp án: $ x=2-\sqrt{5}$ 

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y=f(x)+x^2-2x$

$\to y'=f'(x)+2x-2$

$\to y'=-(x+1)(x-3)+2x-2$

$\to y'=-x^2+4x+1$

$\to y'=0$

$\to -x^2+4x+1=0$

$\to x=2\pm\sqrt{5}$

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=x_0\to y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại khi đi qua $x=x_0$

$\to x=2-\sqrt{5}$ là cực tiểu của hàm số $y=f(x)+x^2-2x$

Đáp án: $x=2-\sqrt5$

Giải thích các bước giải:

$f'(x)=-(x+1)(x-3)=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$

$\to f''(x)=-2x+2$

$y=g(x)=f(x)+x^2-2x$

$\to g'(x)=f'(x)+2x-2$

$\to g''(x)=f''(x)+2=-2x+2+2=-2x+4$

$g'(x)=0\to f'(x)+2x-2=0$

$\to -x^2+4x+1=0$

$\to x=2\pm\sqrt5$

Ta có:

$g''(2+\sqrt5)=-2\sqrt5<0\to g(x)$ đạt cực đại tại $x=2+\sqrt5$

$g''(2-\sqrt5)=2\sqrt5>0\to g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=2-\sqrt5$