Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm $f'(x) =$ $x^{3}$ $-$ $x^{2}$ $-$$m^{2}$$x$ $+$ $m^{2}$ với mọi x thuộc R. có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-2019;2019)$ của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(1;10)$?

Đáp án: $4018$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$f'(x)=x^3-x^2-m^2x+m^2$

$\to f'(x)=(x^3-x^2)-(m^2x-m^2)$

$\to f'(x)=x^2(x-1)-m^2(x-1)$

$\to f'(x)=(x^2-m^2)(x-1)$

Để hàm số nghịch biến trên $(1,10)$

$\to f'(x)<0\quad\forall x\in (1,10)$

$\to (x^2-m^2)(x-1)<0\quad\forall x\in (1,10)$

Do $x\in (1,10)\to x>1\to x-1>0$

$\to x^2-m^2<0$

$\to x^2<m^2$

Lại có $x\in (1,10)\to 1<x<10\to 1<x^2<100$

$\to m^2\ge 100$

$\to m\ge 10$ hoặc $m\le -10$

Do $m\in(-2019,2019)$

$\to -2018\le m\le -10, 10\le m\le 2018$
$\to $Có tất cả $4018$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề