Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Qua $M$ kẻ các tiếp tuyến $ME,MF$ với đường tròn $(E,F$ là các tiếp điểm ). Đường thẳng $(d)$ đi qua $M$, không đi qua $O$ và cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt $P$ và $Q$ $(P$ nằm giữa $M$ và $Q$ ), $K$ là giao điểm của $MO$ và $EF$. Chứng minh: $a,$ $EMFO$ là tứ giác nội tiépr $b,$ $MP MQ=ME^2$ $c,$ Tam giác $MPK$ và tam giác $MOQ$ đồng dạng

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bạn vẽ hình

 a/ Có ∧MEO = ∧MFO = 90 độ vì ME; MF là tiếp tuyến nên vuông govs bán kính OE; Ò

 Vây ^MEO + ^MFO = 180 độ => Tứ giác EMFO nội tiếp

b/ Vì ME tiếp tuyến nên ^MEF = ^EQP = ^EQM ( cùng = 1/2sđcungPE, do góc tạo bởi tiếp tuyến và dây bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung)

⇒ và ^EMP chung nên ΔMEP đồng dạng ΔMQE (gg) ⇒ ME/MQ = MP/ME ⇒ ME² = MP.MQ

c/ Ta có ME = MF và OE = OF ⇒ MO trung trực FE ⇒ FE ⊥ MO ⇒ EK là đường cao của tam giác vuông MEO. Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: ME²=  MK.MO

và ME² = MP.MQ ⇒ MK.MO = MP.MQ ⇒MQ/MO = MK/MP và ^PKM chung nên ΔMPK đồng dạng

ΔMOQ (cgc)