Cho đường tròn tâm (O;R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) và sao cho AM nằm giữa hai tia AB,AO. Gọi C là trung điểm MN. a) Chứng minh A,B,C,O cùn thuộc một đường tròn b) Kẻ BH vuông góc AO. Tính OH, OA theo R c) HB và OC cắt nhau tại P. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)

Đáp án:

a,  A B M ^ = A N B ^ = 1 2 s đ B M ⏜

Chứng minh được: ∆ABM:∆ANB (g.g) => ĐPCM

b, Chứng minh AO ^ BC áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO và sử dụng kết quả câu a) Þ AB² = AH.AO

c, Chứng minh được  A B I ^ = C B I ^ B I ⏜ = C I ⏜ => BI là phân giác  A B C ^ . Mà AO là tia phân giác  B A C ^ => I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC

a) Xét ΔOMN có OM=ON(=R)

nên ΔOMN cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔOMN cân tại O(cmt)

mà OE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy MN(E là trung điểm của MN)

nên OE là đường cao ứng với cạnh MN(Định lí tam giác cân)

hay OE⊥MN tại E

Xét tứ giác AEOC có 

ˆOEAOEA^ và ˆOCAOCA^ là hai góc đối

ˆOEA+ˆOCA=1800(900+900=1800)OEA^+OCA^=1800(900+900=1800)

Do đó: AEOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay A,O,E,C cùng nằm trên 1 đường tròn(đpcm)