Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD cắt AO tại I. Gọi H, E, K lần lượt là hình chiếu của các điểm A, O,B trên CD. Đường thẳng OE cắt BH ở F. Chứng minh: a/ F là trung điểm của BH b/ OE = (BK-AH)/2 c/ AI.IK = IH.IB

a) Có: H là hình chiếu của A trên CD (gt) nên ⇒ AH⊥CD tại H

          E là hình chiếu của O trên CD (gt) nên ⇒ OE⊥CD tại E

⇒ AH//OE (Quan hệ từ vuông góc đến song song)

    Xét tam giá AHB, có:

             O là trung điểm của AB (AB là đường kính của (O))

             OF//AH (cmt)

⇒ F là trung điểm của BH (Định lý 1)

b) Có: K là hình chiếu của B trên CD (gt) ⇒ BK⊥CD tại K

          OE⊥CD tại E (cma) hay EF⊥CD tại E

⇒ BK//EF (Quan hệ từ vuông góc đến song song)

    Xét tam giác KBK, có:

         EF//BK (cmt)

         F là trung điểm của HB (cmt)

⇒ E là trung điểm của HK (Định lý 1)

⇒ EF là đường trung bình trong tam giác HKB (dhnb)

⇒ EF = $\frac{KB}{2}$ 

⇒ 2EF = BK (1)

    Xét tam giác BAH, có:

           O là trung điểm của AB (cmt)

           F là trung điểm của BH (cmt)

⇒ OF là đường trung bình trong tam giác BAH (dhnb)

⇒ OF = $\frac{AH}{2}$ (Tính chất đường trung bình trong tam giác)

⇒ 2OF = AH (2)

    Từ (1)(2) ⇒ 2EF - 2OF = BK - AH

                  ⇔ EF - OF = $\frac{BK - AH}{2}$ 

                  ⇔ OE = $\frac{BK - AH}{2}$ 

c) Có: BK⊥CD tại K (cmt) nên ⇒ Góc BKC = Góc BKD = 90 độ

          AH⊥CD tại H (cmt) nên ⇒ Góc AHD = Góc AHC = 90 độ

    Xét tam giác IHA và tam giác IKB, có:

         Góc IHA = Góc IKB = 90 độ (cmt)

         Góc AIH = Góc KIB (2 góc đối đỉnh)

⇒ Tam giác IHA ~ Tam giác IKB (g.g)

⇒ $\frac{AI}{AB}$ = $\frac{IH}{IK}$

⇒ AI.IK = IH.AB