Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB bằng 5cm, lấy điểm C thuộc đường tròn tâm (O) sao cho AC bằng 4 cm, gọi M là trung điểm của đoạn AC tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tỉa OM tại P a) So sánh độ dài hai đoạn thẳng AB và BC và giải thích b) Chứng minh CA vuông góc với CB c) Chứng minh rằng PA là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) Vẽ CH vuông góc với AB H thuộc AB và BQ vuông góc với CP, Q thuộc CP tính CQ.

a) Ta có $AB$ là đường kính của đường tròn $(O)$

$BC$ là dây cung không đi qua tâm của đường tròn $(O)$

$\Rightarrow BC < AB$.

b) $C$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(O)$

Ta có $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{ACB} = 90^o \Rightarrow  AC \bot  BC$. (đpcm)

c) Ta có $M$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow OM \bot  AC$ (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Mà $OA = OC = R$

$\Rightarrow \Delta  OAC$ cân tại $O$.

Tam giác $OAC$ cân tại $O$ có đường cao đồng thời là đường trung tuyến $OM$

$\Rightarrow  OM$ là đường phân giác của $\widehat {AOC}$.

$\Rightarrow \widehat{ AOM }= \widehat{ COM}$.

Xét $\Delta APO$ và $\Delta  CPO$ ta có:

$PO$ chung

$\widehat{ AOM} = \widehat{ COM}$ (cmt)

$OA = OC$ (=R)

$\Rightarrow  \Delta APO = \Delta CPO$ (g-c-g)

$\Rightarrow \widehat {PAO} = \widehat{ PCO }$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow  \widehat{PAO} = 90^o$

Hay $PA \bot AO$ hay $PA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

d) Ta có: $\widehat{QCB}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $BC$

$\widehat {CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$

$\widehat{ QCB} = \widehat{ CAB}$.

Mà $\widehat{HCB} = \widehat{ CAB}$ (cùng phụ với $\widehat{ CBA}$)

$\Rightarrow  \widehat{ BCQ} = \widehat{ BCH} (= \widehat{ CAB})$

$\Rightarrow\Delta  HBC = \Delta QBC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow  CH = CQ$ (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ có:

$BC^2=AB^2-AC^2=5^2-4^2=9$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\Delta ABC$ ta có:

$\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{25}{144}$

$\Rightarrow CH=2,4=CQ$