Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến cắt đường tròn tại hai điểm B,C. Gọi H là giao điểm của AO và BC. Gọi E là điểm đối xứng của H qua O. Kẻ một đoạn thẳng MN. Với hai điểm M,N lần lượt nằm trên tiếp tuyến AB và AC. Sao cho MN vuông góc với EA tại E. Biết AB = 3R, BH = R/2. a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Chứng minh ABOC nội tiếp. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. c) Chứng minh tứ giác MBCN là hình thang cân và HB/AN = EN/AB Từ N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại J. Chứng minh rằng : d) Năm điểm J,E,O,C,N nội tiếp đường tròn. e) JN // MH. f) Ba điểm J,E,B thẳng hàng.

a) \(\Delta ABC\) cân đỉnh \(A\), \(AH\) là phân giác của góc \(\widehat{CAB}\) nên \(AH\) cũng là đường cao \(\Rightarrow AH\bot BH\)

\(\Delta ABH\): \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\dfrac{\sqrt{35}R}{2}\)

b) \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến \((O)\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} OB\bot AB \\ OC\bot AC \end{array} \right .\)

\(\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)

Tứ giác \(ABOC\) có tổng hai góc đối đỉnh là \(180)^o\) \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\) nên \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\).

c) Ta có \(BC\parallel MN(\bot AH)\) \(AM=AN\), \(AB=AC\) nên \(AM-AB=AN-AC\) \(\Rightarrow BM=CN\)

Suy ra tứ giác \(BMNC\) là hình thang cân.

d) Tứ giác \(OCNJ\) có \(\widehat{OCN}+\widehat{NJO}=180^o\)

Suy ra tứ giác \(OCNJ\) nội tiếp đường tròn đường kính \(ON\).

Tứ giác \(NJEO\) có \(\widehat{OEN}=\widehat{OJN}\) cùng nhìn \(ON\) dưới một góc \(90^o\)

Suy ra tứ giác \(NJEO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(ON\).

\(\Rightarrow O,C,N,J,E\) nội tiếp đường tròn đường kính \(ON\).

e) \(\Delta OJB\) cân nên \(\widehat{OBJ}=\widehat{BJO}\) (*)

Tứ giác \(NJEO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(ON\).

\(\Rightarrow \widehat{OJE}=\widehat{ONE}\) (1) (là góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{OE}\)) \(\widehat{ENB}=\widehat{NBE}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EJO}=\widehat{NBE}\)

hay \(\widehat{EJO}=\widehat{OBE}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat{OBJ}=\widehat{OBE}\) suy ra \(B,E,J\) thẳng hàng.