Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt là các điểm M, N sao cho OM=ON. Vẽ dây CD qua M và N (M nằm giữa C và N) 1. Chứng minh rằng CM = DN. 2 Giả sử góc AOB =90 hãy tính OM, ON theo R sao cho CM = MN = ND.

`1)` Ta có $OM=ON$ (gt)

`=>∆OMN` cân tại $O$

Gọi `I` là trung điểm $MN$

`=>IM=IN` $(1)$

`\qquad OI` vừa là trung tuyến và đường cao $∆OMN$

`=>OI`$\perp MN$

`=>OI`$\perp CD$

$\\$

Vì $OC=OD=R$

`=>∆OCD` cân tại $O$

`=>OI` vừa là đường cao và trung tuyến $∆OCD$

`=>IC=ID` $(2)$

Từ `(1);(2)=>IC-IM=ID-IN`

`=>CM=DN` (đpcm)

$\\$

`2)` Đặt `CM=MN=2x\quad (x>0)`

Vì `OM=ON; \hat{MON}=90°` (do `\hat{AOB}=90°)`

`=>∆OMN` vuông cân tại $O$

Vì `I` là trung điểm $MN$

`=>OI` là trung tuyến $∆OMN$

`=>OI=IM={MN}/2={2x}/2=x`

$\\$

`=>IC=CM+IM=2x+x=3x`

$\\$

Xét $∆OIC$ vuông tại $I$

`=>OI^2+IC^2=OC^2` (định lý Pytago)

`=>x^2+(3x)^2=R^2`

`=>x^2+9x^2=R^2`

`=>10x^2=R^2`

`=>x^2={R^2}/{10}`

`=>x=\sqrt{{R^2}/{10}}=R/\sqrt{10}`

$\\$

Xét $∆OMN$ vuông cân tại $O$

`=>\hat{ONM}=45°`

`=>sin\hat{ONM}=sin45°={OM}/{MN}`

`=>OM=MN.sin45°=2x . \sqrt{2}/2`

`=x\sqrt{2}=R/\sqrt{10} . \sqrt{2}=R/\sqrt{5}={R\sqrt{5}}/5`

Vậy `OM=ON={R\sqrt{5}}/5`