Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài (O).Kẻ hai tiếp tuyến , MA MB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua M cắt (O) tại C và D ( C nằm giữa M và D , d và MB nằm khác phía đối với MO), AB cắt MO tại H . 1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp 2) Chứng minh MC.MD=MH.MO 3) Chứng minh CHD = 2CBD 4) Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến với (O), chúng cắt nhau tại S . Chứng minh rằng S thuộc một đường cố định khi d quay quanh M.

Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{MAO}=\widehat{MBO}(=90^o)$

$\to MAOB$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

2.Xét $\Delta MAC,\Delta MAD$ có:

Chung $\hat M$

$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\Delta MAC\sim\Delta MDA(g.g)$

$\to\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}$

$\to MA^2=MC\cdot MD$

Ta có $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MO\perp AB\to AH\perp MO$

Mà $MA\perp AO$

$\to MA^2=MH\cdot MO$

$\to MC\cdot MD=MH\cdot MO$

3.Xét $\Delta MCH,\Delta MOD$ có:

Chung $\hat M$

$\dfrac{MC}{MH}=\dfrac{MO}{MD}$ vì $MC\cdot MD=MH\cdot MO$

$\to\Delta MCO\sim\Delta MHD(c.g.c)$

$\to\widehat{MOC}=\widehat{MDO}$

$\to ODCH$ nội tiếp

$\to\widehat{CHD}=\widehat{COD}=2\widehat{CBD}$

4.Ta có $\widehat{SCO}=\widehat{SDO}(=90^o)$

$\to SCOD$ nội tiếp đường tròn đường kính $SO$
Mà $CHOD$ nội tiếp

$\to C,H,O,D,S$ cùng thuộc một đường tròn

$\to C,H,O,D,S$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $SO$

$\to \widehat{SHO}=\widehat{SCO}=90^o$

$\to SH\perp MO$

Mà $AH\perp MO$

$\to S, A, H$ thẳng hàng

$\to S\in AH$

$\to S\in AB$ cố định khi $d$ thay đổi