Cho đường tròn (O;R) từ điểm a nằm ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến AM với đường tròn kẻ dây MN vuôngóc OA. Biết OA=2R. Tính độ dài MN

$\text{Gọi I là giao điểm của OA va MN}$

$\text{Xét (O), có:}$

$\text{OI là 1 phần của đường kính}$

$\text{MN là dây cung}$

$\text{OI⊥MN tại I (OA⊥MN tại I)}$

$\text{⇒ I là trung điểm của MN (Định lý quan hệ giữa đường kính và dây)}$

$\text{⇒ 2IM = 2IN = MN}$

$\text{Có: AM là tiếp tuyến của (O) (gt) nên:}$

$\text{⇒ AM⊥MO tại M}$

$\text{⇒ $\widehat{AMO}$ = $90^o$}$

$\text{⇒ ΔAMO vuông tại M}$

$\text{Xét ΔAMO vuông tại M (cmt) có:}$

$\text{AO² = AM² + MO² (Định lý Py-ta-go)}$

$\text{(2R)² = AM² + R² (Thay số)}$

$\text{AM² = 3R²}$

$\text{⇒ AM = R$\sqrt{3}$}$

$\text{Xét ΔAMO vuông tại M (cmt), đường cao MI (MI⊥AO tại I) có:}$

$\text{AM . MO = MI . AO (Hệ thức lượng trong Δ vuông)}$

$\text{R$\sqrt{3}$ . R = MI . 2R (Thay số)}$

$\text{MI = $\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$}$

$\text{⇒ MN = 2MI = 2 . $\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$ = R$\sqrt{3}$}$

$\textit{Ha1zzz}$