Cho đường tròn(O ;R ). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kể 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là hai tiếp điểm) . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D (D khác B), đường thẳng AD cắt (O) tại E a: chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b: chứng minh AE. AD=AB² c: chứng minh CEA = CEB d: giả sử OA = 3R tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và BD theo R Giúp em vs ạ xong em vote + ctlhn
1 câu trả lời
Đáp án:
a) góc OBA = góc OCA = 90 độ ( AB , AC là tiếp tuyến của (O))
=> Góc OBA + OCA = 180 độ
=> Thứ giác OBAC nội tiếp
b) Xét tam giác OEB và tam giác OBD có
Góc EBA = BDA ( hai góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung cùng chắn cung $\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}$ )
Góc DAB (chung)
=> $\frac{EA}{BA}$ = $\frac{BA}{DA}$ = AB² = AE . AD (đpcm)
c) Gọi I là giao điểm của CO và BD
BD // CA và CO vuông góc AC => BD vuông góc CI
Xét tam giác OBD cân tại O có đường cao OI => OI cũng là đường trung trực của đoạn BD
=> CB = CD => $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$= $\mathop{DC}\limits^{\displaystyle\frown}$ => $\widehat{BDC}$ = $\widehat{DBC}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau )
Lại có $\widehat{DEC}$ = $\widehat{DBC}$ => $\widehat{DEC}$ = $\widehat{BDC}$ (3)
Tứ giác CEDB nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{BDC}$ + $\widehat{BEC}$ = 180 độ => $\widehat{BEC}$ = 180 độ - $\widehat{BDC}$ (1)
Mà $\widehat{DEC}$ + $\widehat{CEA}$ = 180 độ => $\widehat{CEA}$ = 180 độ - $\widehat{DEC}$ (2)
Từ (1),(2),(3) => $\widehat{BEC}$ = $\widehat{CEA}$ (đpcm)
d) Gọi H là giao điểm của BC và OA
K là hình chiếu của B lên CA
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác OBA vuông tại B ta có
OB² + AB² = OA² -> AB = $\sqrt[]{OA^2 - OB^2}$ = 2$\sqrt[]{2R}$
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OBA vuông tại B, đường cao BH ta có
$\begin{cases} AB^2 = AH . AO\\BH . AO = OB . BA\\ \end{cases}$ => $\begin{cases} AH = \frac{AB^2}{AO}\\BH = \frac{OB . BA}{AO}\\ \end{cases}$ => $\begin{cases} AH = \frac{(2\sqrt[]{2R})^2}{3R} = \frac{8}{3} R\\BH = \frac{R.2\sqrt[]{2R}}{3R} = \frac{2\sqrt[]{2}}{3} R\\ \end{cases}$
Dễ dàng chứng minh BH = CH => BC = 2BH = $\frac{4\sqrt[]{2}}{3}$ R và AC = AB = 2$\sqrt[]{2}$ R
Trong tam giác ABC có
$S_{ΔABC}$ = $\frac{1}{2}$ BC . AH = $\frac{1}{2}$ BK . AC => BK = $\frac{BC . AH}{AC}$ = $\frac{x}{y}$ $\frac{\frac{4\sqrt[]{2}}{3}R . \frac{8}{3}R}{2\sqrt[]{2}R}$ = $\frac{16}{9}$ R
Vậy khoảng cách từ BD đến AC là $\frac{16}{9}$ R