Cho đường tròn `(O, R)` có đường kính `AB = 2R`. Vẽ `2` tiếp tuyến `Ax,\ By` với đường tròn. Qua `M` bất kì trên đường tròn `(O)\ (M \ne\ A;\ B)` vẽ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt `Ax,\ By` lần lượt tại `C,\ D.\ AD` cắt `BC` tại `N,\ MN` cắt `AB` tại `K`. C/m: $1)\ N$ là trung điểm `MK` $2)\ MN = \dfrac{OC^2 . OD^2}{CD^3}$

`1)` `AC;MC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `C` `(A;M` là hai tiếp điểm 

`=>AC=MC`

Tương tự `BD=MD`

$\\$

Xét $∆ACN$ có $AC$//$BD$ (cùng $\perp AB$)

`=>{NC}/{NB}={AC}/{BD}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{NC}/{NB}={MC}/{MD}`

`=>MN`//$BD$ (định lý Talet đảo)

$\\$

Xét $∆BCD$ có $MN$//$CA$ (cùng //$BD$)

`=>{CA}/{MN}={DA}/{DN}` (hệ quả định lý Talet)

Xét $∆ABC$ có $NK$//$AC$ 

`=>{CA}/{NK}={BC}/{BN}` (hệ quả định lý Talet)

Xét $∆ACN$ có $AC$//$BD$

`=>{AN}/{DN}={CN}/{BN}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{AN}/{DN}+1={CN}/{BN}+1`

`=>{AN+DN}/{DN}={CN+BN}/{BN}`

`=>{DA}/{DN}={BC}/{BN}`

`=>{CA}/{MN}={CA}/{NK}`

`=>MN=NK`

`=>N` là trung điểm $MK$ (đpcm)

$\\$

`2)` Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

`=>OC` là phân giác của `\hat{AOM}`

`\qquad OD` là phân giác của `\hat{BOM}`

Mà `\hat{AOM};\hat{BOM}` là hai góc kề bù

`=>OC`$\perp OD$

`=>∆OCD` vuông tại $O$

`=>OM^2=MC.MD` (hệ thức lượng)

và `OC.OD=OM.CD` (hệ thức lượng)

`=>{OC^2 .OD^2}/{CD^3}={OM^2 .CD^2}/{CD^3}={OM^2}/{CD}` `(1)`

$\\$

Xét $∆BCD$ có $MN$//$BD$

`=>{MN}/{BD}={MC}/{CD}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{MN}/{MD}={MC}/{CD}`

`=>MN.CD=MC.MD`

`=>MN.CD=OM^2`

`=>MN={OM^2}/{CD}` `(2)`

Từ `(1);(2)=>MN={OC^2 .OD^2}/{CD^3}` (đpcm)