Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M nằm trên đường tròn (O) (M khác A,B). Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M, MH) (C, D là tiếp điểm). Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

+ $MA$ là tia phân giác $\widehat{HMC}\Rightarrow \widehat{CMA}=\widehat{HMA}$

+ $MB$ là tia phân giác $\widehat{HMD}\Rightarrow \widehat{DMB}=\widehat{HMB}$

$\Rightarrow \widehat{CMA}+\widehat{DMB}=\widehat{HMA}+\widehat{HMB}$

$\Rightarrow \widehat{CMA}+\widehat{DMB}=\widehat{AMB}$

$\Rightarrow \widehat{CMA}+\widehat{DMB}+\widehat{AMB}=2\widehat{AMB}$

$\Rightarrow \widehat{CMD}=2.90{}^\circ =180{}^\circ $

$\Rightarrow C,M,D$ thẳng hàng

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

+ $MC=MH$

+ $MD=MH$

$\Rightarrow MC=MD$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $CD$

Ta có $AC\bot CD\,\,\,;\,\,\,BD\bot CD$

$\Rightarrow AC//BD\Rightarrow ACDB$ là hình thang

Có $O,M$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của  hình thang $ACDB$

$\Rightarrow OM//AC//BD$

$\Rightarrow OM\bot CD$

$\Rightarrow CD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$