Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn. Qua điểm H thuộc đoạn OB vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại D, C . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt đường thẳng d tại I , tia AC cắt đường tròn tại E, đường thẳng ME cắt OI tại K. Chứng minh : a, Tứ giắc MOHE nội tiếp b, IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) c, Đường thẳng ME đi qua điểm cố định

.....

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{AMB}=\widehat{AEB}=90^o$

$\to \widehat{CHB}=\widehat{CEB}=90^o,\widehat{CHA}=\widehat{CMA}=90^o$

$\to CEBH, CMAH$ nội tiếp

$\to \widehat{CEH}=\widehat{CBH}=\widehat{MBA}=\widehat{MEA}=\widehat{MEC}$

$\to EC$ là phân giác $\widehat{MEH}$

$\to \widehat{MEH}=2\widehat{MEC}=2\widehat{MEA}=\widehat{MOA}$

$\to MOHE$ nội tiếp

b.Ta có $IM$ là tiếp tuyến của $(O)\to IM\perp OM$

$\to \widehat{IMO}=\widehat{IHO}=90^o$

$\to IMOH$ nội tiếp đường tròn đường kính $OI$

$\to I, M, O, H$ cùng thuộc một đường tròn

Do $MEHO$ nội tiếp

$\to M, E, H, O$ cùng thuộc một đường tròn

$\to M, I, E, H, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OI$

$\to \widehat{IEO}=90^o$

$\to IE\perp OE$

$\to IE$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Gọi $ME\cap AB=F$

Xét $\Delta FHE,\Delta HMA$ có:

Chung $\hat F$

$\widehat{FEH}=\widehat{FOM}$ vì $MEHO$ nội tiếp

$\to\Delta FHE\sim\Delta FMO(g.g)$

$\to \dfrac{FH}{FM}=\dfrac{FE}{FO}$

$\to FE\cdot FM=FH\cdot FO$

Tương tự do $MEBA$ nội tiếp ta chứng minh được $FE\cdot FM=FA\cdot FB$

$\to FA\cdot FB=FH\cdot FO$

$\to \dfrac{FA}{FH}=\dfrac{FO}{FB}$

$\to \dfrac{FA}{FH}=\dfrac{FO}{FB}=\dfrac{FA-FO}{FH-FB}=\dfrac{AO}{BH}$

$\to \dfrac{FA}{FH}=\dfrac{AO}{BH}$

$\to \dfrac{FA}{FH}=\dfrac{BO}{BH}$

$\to \dfrac{FA}{FH}-1=\dfrac{BO}{BH}-1$

$\to \dfrac{FA-FH}{FH}=\dfrac{BO-BH}{BH}$

$\to \dfrac{AH}{FH}=\dfrac{OH}{BH}$

$\to HF=\dfrac{AH\cdot BH}{OH}$ không đổi

$\to F$ cố định

$\to ME$ luôn đi qua $F$ cố định