Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.

a) Ta có $AB=AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $AO$ là phân giác cũng là đường cao

$\Rightarrow AO\bot BC$

b) $\Delta BCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $CD$

$\Rightarrow BCD\bot B\Rightarrow BD\bot BC$

$\Rightarrow AO\parallel BD$ (vì cùng $\bot BC$)

c) Gọi $AO\cap BC=H$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta ABO$ có:

$AB^2=AO^2-OB^2=4^2-2^2=12$

$\Rightarrow AB=2\sqrt3=AC$

Hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABO$

$\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{BO^2}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow BH=\sqrt3\Rightarrow BC=2BH=2\sqrt3$.