Cho đường thẳng (m+2)x-my=-1(1) Tìm điểm cố định của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (1) là lớn nhất

Đáp án:

 `m=-1`

Giải thích các bước giải:

`(m+2)x-my=-1` `(1)`

Gọi `t` là khoảng cách từ `O`  đến đường thẳng `(1)`

Gọi `A` là giao điểm của đường thẳng `(1)` với trục tung.

`\to x=0` 

`\to (m+2).0-my=-1`

`\to -my=-1`

`\to y=1/m`

`\to OA=1/|m|`

Gọi `B` là giao điểm của đường thẳng `(1)` với trục hoành.

`\to y=0`

`\to (m+2).x-m.0=-1`

`\to (m+2).x=-1`

`\to x=-1/(m+2)`

`\to OB=|(-1)/(m+2)|=1/|m+2|`

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

`1/t^2=1/(OA^2)+1/(OB^2)`

`<=>1/t^2=1/(1/m)^2+1/(1/(m+2))^2`

`<=>1/t^2=m^2+ (m+2)^2`

`<=> 1/t^2=m^2+m^2+4m+4`

`<=> 1/t^2=2m^2+4m+4`

`<=> 1/t^2=2(m^2+2m+1)+2`

`<=> 1/t^2=2(m+1)^2+2`

Vì `2(m+1)^2>=0 => 2(m+1)^2+2>=2`

`=> 1/t^2>=2`

`<=> t^2>=1/2`

`<=> t>= 1/(\sqrt2)=(\sqrt2)/2`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

`2(m+1)^2=0<=>m=-1`

Vậy `m=-1` để khoảng cách từ `O` đến đường thẳng `(1)` là lớn nhất.